О ТРЕХКРАТНОЙ НЕПОЛНОТЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ, ПОРОЖДЕННОЙ КОМБИНАЦИЕЙ ТРЕХ ЭКСПОНЕНТ С ПОКАЗАТЕЛЯМИ, ЛЕЖАЩИМИ НА ОДНОМ ЛУЧЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

О.С.Карнаухова (ФГОУ ВПО ”Саратовский ГАУ им. Н.И. Вавилова“, г. Саратов)

Докажем, что система функций

– любое подмножество, в частности может , где  и не все равные нулю,  трехкратна не полна ни в каком пространстве .

Пусть  и предположим, что

 , то есть

  (1)

Проинтегрируем по частям 1-ое слагаемое 2 раза, 2-ое слагаемое – 1 раз. Будем использовать обозначение

.

Тогда получим для каждого слагаемого в (1):

Подставляя все это в (1), получим

             (2)

Предположим, что  выбраны так, что

             (3)

С учетом этого, а также того, что

,

из (2) получим

.

Перегруппируя слагаемые, получаем

                (4)

Если обозначить

            (5)

то (4) будет иметь вид

(6)

(6) будет выполняться если

            (7)

Отсюда следует, что        (8)

для почти всех  где

Распишем (8), получим

Тем самым утверждение доказано.

Список литературы

1. Карнаухова О.С. Дефектное подпространство системы функций, порожденной комбинацией трех экспонент с показателями, лежащими на одном луче. Киев: Наука, 2006.

2. Джавадов М.Г. О неполноте некоторой части собственных функций несамосопряженного дифференциального оператора 2m-го порядка. М.: Данко, 1991.